什么是数学:对思想和方法的基本研究.pdf

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书籍描述

编辑推荐
《什么是数学:对思想和方法的基本研究(第3版)》是一本人人都能读的数学书,将为你开启一扇认识数学世界的窗口。无论你是初学者还是专家,学生还是教师,哲学家还是工程师,通过这本书,你都将领略到数学之美,最终迷上数学。

名人推荐
“这本书是一部艺术著作。”
——M·莫尔斯
“这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思想和方法,在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了,已经达到令人惊讶的程度。”
——H·外尔

作者简介
作者:(美国)R·柯朗(Richard Courant) (美国)H·罗宾(Herbert Kobbins) 译者:左平 张饴慈

R·柯朗(Richard Courant),是20世纪杰出的数学家,哥廷根学派重要成员。他生前是纽约大学数学系和数学科学研究院的主任,该研究院后被重命名为柯朗数学科学研究院。他写的书《数学物理方程》为每一个物理学家所熟知,而他的《微积分学》已被认为是近代写得最好的该学科的代表作。
H·罗宾(Herbert Kobbins),是统计学家,新泽西拉特杰斯大学的数理统计教授。
左平,首都师范大学数学系副教授。
张饴慈,1965年毕业于北京大学数学力学系,后为首都师范大学数学系教授。

目录
什么是数学
第1章自然数
引言
1整数的计算
2数系的无限性数学归纳法
第1章补充数论
引言
1素数
2同余
3毕达哥拉斯数和费马大定理
4欧几里得辗转相除法
第2章数学中的数系
引言
1有理数
2不可公度线段无理数和极限概念
3解析几何概述
4无限的数学分析
5复数
6代数数和超越数
第2章补充集合代数
第3章几何作图数域的代数
引言
第1部分不可能性的证明和代数
1基本几何作图
2可作图的数和数域
3三个不可解的希腊问题
第2部分作图的各种方法
4几何变换反演
5用其他工具作图只用圆规的马歇罗尼作图
6再谈反演及其应用
第4章射影几何公理体系非欧几里得几何
1引言
2基本概念
3交比
4平行性和无穷远
5应用
6解析表示
7只用直尺的作图问题
8二次曲线和二次曲面
9公理体系和非欧几何
附录
高维空间中的几何学
第5章拓扑学
引言
1多面体的欧拉公式
2图形的拓扑性质
3拓扑定理的其他例子
4曲面的拓扑分类
附录
第6章函数和极限
引言
1变量和函数
2极限
3连续趋近的极限
4连续性的精确定义
5有关连续函数的两个基本定理
6布尔查诺定理的一些应用
第6章补充极限和连续的一些例题
1极限的例题
2连续性的例题
第7章极大与极小
引言
1初等几何中的问题
2基本极值问题的一般原则
3驻点与微分学
4施瓦茨的三角形问题
5施泰纳问题
6极值与不等式
7极值的存在性狄里赫莱原理
8等周问题
9带有边界条件的极值问题施泰纳问题和等周问题之间的联系
10变分法
11极小问题的实验解法肥皂膜实验
第8章微积分
引言
1积分
2导数
3微分法
4莱布尼茨的记号和“无穷小”
5微积分基本定理
6指数函数与对数函数
7微分方程
第8章补充
1原理方面的内容
2数量级
3无穷级数和无穷乘积
4用统计方法得到素数定理
第9章最新进展
1产生素数的公式
2哥德巴赫猜想和孪生素数
3费马大定理
4连续统假设
5集合论中的符号
6四色定理
7豪斯道夫维数和分形
8纽结
9力学中的一个问题
10施泰纳问题
11肥皂膜和最小曲面
12非标准分析
附录补充说明问题和习题
算术和代数
解析几何
几何作图
射影几何和非欧几何
拓扑学
函数、极限和连续性
极大与极小
微积分
积分法
参考书目1
参考书目2(推荐阅读)

文摘
版权页:

什么是数学:对思想和方法的基本研究

插图:

什么是数学:对思想和方法的基本研究

一个类似的论证表明:立方体中点的基数不大于线段的基数。
虽然这些结果似乎都是和维数的直观思想矛盾的,但我们必须记住,我们定义的对应不是“连续的”。如果我们从。到1沿着线段连续地移动,则正方形上相对应的点将不形成一连续曲线,而是完全无秩序地出现,一个点集的维数不仅依赖于集合的基数,而且还依赖于这些点在空间中分布的方式,在第五章我们将重新回到这个问题上来。
基数理论仅仅是一般集合理论的一个方面。这个集合理论是康托不顾当时某些最卓越的数学家的严厉批评而创立的,其中许多批评者,例如克隆尼克和庞加莱(Poincarfi),反对使“集”的一般概念含糊不清和定义某些集合时所用的非构造性的推理方法。
对非构造性的推理方法的异议可以归结为,所谓真正的反证法究竟是什么?反证法本身是一种人们熟知的数学推理方法,为了证明一个命题A是真的,我们先作一个尝试性的假定,认为同A相反的命题A'为真,然后用一系列的推理得出一个与A'相矛盾的结论,从而证实了A'的荒谬,于是在“排中律”这个基本逻辑法则的基础上,由A'的荒谬证明了A的正确。
在整个这本书中,我们会遇到许多例子,在那里反证法可以容易地改换为直接证明方法,但是反证法往往比较简捷,可以避免对直接目标来说是不必要的一些细节,而且,有一些定理,至今除了反证法以外还不可能给出其他的证明。甚至有这样的定理,它可以用反证法加以证明,但是由于这个定理本身的特点,即使在原则上也不可能给出直接的构造性的证明,例如在第95页的定理就是如此,在数学历史上曾有这样的不同时期,当数学家为了表明某个问题的可解性而致力于直接构造这解时,另有一些人则用反证法给出非构造性的证明而绕过构造的任务。
通过构造某种类型的对象的具体例子来证明该对象的存在,和说明如果不存在将导致矛盾,这二者之间是有本质差别的,在第一种情况,我们有一个实在的对象,而在第二种情况,我们有的仅仅是一个矛盾,最近有一些卓越的数学家鼓吹从数学中完全排除所有非构造性的证明,即使我们愿意采用这样的方案,但在目前,将是极为复杂的,甚至会部分地破坏富有生命力的数学整体,由于这个原因,毫不足怪,采用这个方案的“直觉主义”学派遇到了强大的阻力,即使最彻底的直觉主义者也不能总是履行他们的信条。

内容简介
《什么是数学:对思想和方法的基本研究(第3版)》是世界著名的数学科普读物,它搜集了许多经典的数学珍品,对整个数学领域中的基本概念与方法,做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士,或是愿意作数学思考者都可以阅读《什么是数学:对思想和方法的基本研究(第3版)》。特别对中学数学教师、大学生和高中生,都是一本极好的参考书。

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