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书籍描述

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《泛函分析讲义(上)》由北京大学出版社出版。

目录
第一章 度量空间
§1 压缩映像原理
§2 完备化
§3 列紧集
§4 线性赋范空间
4.1 线性空间
4.2 线性空间上的距离
4.3 范数与Banach空间
4.4 线性赋范空间上的模等价
4.5 应用(最佳逼近问题)
4.6 有穷维B*空间的刻画
§5 凸集与不动点
5.1 定义与基本性质
5.2 Brouwer与Schauder不动点定理
5.3 应用
§6 内积空间
6.1 定义与基本性质
6.2 正交与正交基
6.3 正交化与Hilbert空间的同构
6.4 再论最佳逼近问题
6.5 应用

第二章 线性算子与线性泛函
§1 线性算子的概念
1.1 线性算子和线性泛函的定义
1.2 线性算子的连续性和有界性
§2 Riesz定理及其应用
§3 纲与开映像定理
3.1 纲与纲推理
3.2 开映像定理
3.3 闭图像定理
3.4 共鸣定理
3.5 应用
§4 Hahn-Banach定理
4.1 线性泛函的延拓定理
4.2 几何形式——凸集分离定理
4.3 应用
§5 共轭空间·弱收敛·自反空间
5.1 共轭空间的表示及应用(Runge定理)
5.2 共轭算子
5.3 弱收敛及*弱收敛
5.4 弱列紧性与*弱列紧性
§6 线性算子的谱
6.1 定义与例
6.2 ΓeлъфНд定理

第三章 广义函数与CoбoлeB空间
§1 广义函数的概念
1.1 基本空间D(n)
1.2 广义函数的定义和基本性质
1.3 广义函数的收敛性
§2 B0空间
§3 广义函数的运算
3.1 厂义微丽
3.2 广义函数的乘法
3.3 平移算子与反射算子
§4 f'上的Fourier变换
§5 CoбoлeB空间与嵌入定理

第四章 紧算子与Fredholm算子
§1 紧算子的定义和基本性质
§2 Riesz-Freclholm理论
§3 紧算子的谱理论(Riesz-schauder理论)
3.1 紧算子的谱
3.2 不变子空间
3.3 紧算子的结构
§4 Hilbert-Schmidt定理
§5 对椭圆型方程的应用
§6 Fredholm算子
符号表
习题补充提示
索引

序言
80年代以来,许多高等院校都开设了泛函分析课程,而数学系的学生大都把泛函分析当作一门基础课来学。这种趋势反映了近几十年来数学的发展:泛函分析在分析学中已占据了重要的位置。
泛函分析是一门较新的数学分支。在它的发展中受到了数学物理方程和量子力学的推动,后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果。由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究,因此逐步形成了种种综合运用代数、几何(包括拓扑)手段处理分析问题的新方法。正因为这种纯粹形式的代数、拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的,所以,由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。现在,泛函分析已经成为一门内容丰富、方法系统、体系完整、应用广泛的独立分支。对于任何一位从事纯粹数学与应用数学研究的学者来说,它都是一门不可缺少的知识。
国内现已出版不少泛函分析教材。但其中有的或偏于专门,或过于简略,其共同缺陷是把这门联系广泛、丰富多彩的课程与经典分析及数学物理隔绝了起来。读者学完以后,有时只能欣赏其体系之抽象、论证之精巧,却难以体会到泛函方法的实质及威力。
本书是试图弥补这二缺陷而编写的一部教材。它力图向读者展示泛函分析中若干重要概念、理论的来源与背景;力图向读者介绍如何透过分析问题的具体内容洞察其内在的代数、几何实质;力图向读者表明泛函分析理论与数学的其他分支有着密切的联系,并有广泛的应用。

文摘
插图:

泛函分析讲义

内容简介
这是一部泛函分析教材。它系统地介绍线性泛函分析的基础知识。全书共分四章: 度量空间;线性算子与线性泛函;广义函数与Coболев空间;以及紧算子与Fredholm算子。《泛函分析讲义(上)》的主要特点是它侧重于分析若干基本概念和重要理论的来源和背景,强调培养读者运用泛函方法解决问题的能力,注意介绍泛函分析理论与数学其它分支的联系。书中包含丰富的例子与应用,对于掌握基础理论有很大帮助。此书适用于理工科大学本科生与研究生阅读,并且可供一般的数学工作者、物理工作者、工程技术人员参考。为便于读者学习,本次重印书末增加了习题补充提示和索引,以供读者参考。

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