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书籍描述

编辑推荐
《常微分方程教程(第2版)》:高等学校教材

目录
第一章 基本概念
1.1 微分方程及其解的定义
1.2 微分方程及其解的几何解释

第二章 初等积分法
2.1 恰当方程
2.2 变量分离的方程
2.3 一阶线性方程
2.4 初等变换法
2.4.1 齐次方程
2.4.2 伯努利方程
2.4.3 里卡蒂方程
2.5 积分因子法
2.6 应用举例

第三章 存在和唯一性定理
3.1 皮卡存在和唯一性定理
3.2 佩亚诺存在定理
3.2.1 欧拉折线
3.2.2 ascoli引理
3.2.3 佩亚诺存在定理
3.3 解的延伸
.3.4 比较定理及其应用

第四章 奇解
4.1 一阶隐式微分方程
4.1.1 微分法
4.1.2 参数法
4.2 奇解
4.3 包络
4.4 奇解的存在定理

第五章 高阶微分方程
5.1 几个例子
5.2 n维线性空间中的微分方程
5.3 解对初值和参数的连续依赖性
5.4 解对初值和参数的连续可微性

第六章 线性微分方程组
6.1 一般理论
6.1.1 齐次线性微分方程组
6.1.2 非齐次线性微分方程组
6.2 常系数线性微分方程组
6.2.1 矩阵指数函数的定义和性质
6.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
6.2.3 利用若尔当标准型求基解矩阵
6.2.4 待定指数函数法
6.3 高阶线性微分方程式
6.3.1 高阶线性微分方程的一般理论
6.3.2 常系数高阶线性微分方程

第七章 幂级数解法
7.1 柯西定理
7.2 幂级数解法
7.3 勒让德多项式
7.4 广义幂级数解法
7.5 贝塞尔函数

第八章 定性理论与分支理论初步
8.1 动力系统,相空间与轨线
8.2 解的稳定性
8.2.1 李雅普诺夫稳定性的概念
8.2.2 按线性近似判断稳定性
8.2.3 李雅普诺夫第二方法
8.3 平面上的动力系统,奇点与极限环
8.3.1 初等奇点
8.3.2 极限环
8.3.3 lienard作图法
8.3.4 poincare映射与后继函数法
8.4 结构稳定与分支现象
8.4.1 一个大范围的结构稳定性定理
8.4.2 高阶奇点的分支
8.4.3 hopf分支
8.4.4 poincare分支
8.4.5 多重闭轨的分支
8.4.6 同宿轨线的分支
8.4.7 奇异向量场的普适开折

第九章 边值问题
9.1 施图姆比较定理
9.2 s-l边值问题的特征值
9.3 特征函数系的正交性
9.4 一个非线性边值问题的例子
9.5 周期边值问题

第十章 首次积分
10.1 首次积分的定义
10.2 首次积分的性质
10.3 首次积分的存在性
10.4 大范围的首次积分

第十一章 一阶偏微分方程
11.1 一阶齐次线性偏微分方程
11.2 一阶拟线性偏微分方程
11.3 几何解释
参考文献
习题答案与提示

文摘
版权页:

常微分方程教程

插图:

常微分方程教程

由牛顿(Newton,1642~1727)和莱布尼茨(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分,是人类科学史上划时代的重大发现。而微积分的产生和发展,与人们求解微分方程的需要有密切的关系。所谓微分方程,就是联系着自变量,未知函数,及其导数在内的方程。物理学,化学,生物学,工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述,往往会出现微分方程。在本书的各章中,将举出引导到微分方程的各种例子。一个实际问题只要转化为微分方程,那么问题的解决就有赖于对微分方程的研究。就是在数学本身的理论探讨中,微分方程也是常用的工具。
本教程主要介绍常微分方程的一些最基本的理论和方法。我们在第一章 首先给出微分方程及其解的定义,并予以相应的几何解释。实际上,这也是为以后各章进一步的学习所作的必要准备。
§1.1微分方程及其解的定义
利用数学手段研究自然现象和社会现象,或解决工程技术问题,一般需要先对问题建立数学模型,再对它进行分析求解或近似计算,然后按实际的要求对所得的结果作出分析和探讨。数学模型最常见的表达方式,是包含自变量和未知函数的函数方程。在很多情形这类方程还包含未知函数的导数,它们就是微分方程。例如,用牛顿第二运动定律列出的质点运动方程就是微分方程,其中未知函数代表质点的坐标,它们对自变量(时间)的一阶导数和二阶导数分别表示质点的运动速度和加速度。

内容简介
《常微分方程教程(第2版)》是作者在北京大学数学学院多年教学实践的基础上编写而成的,第一版于1991年出版。作者在第二版准备的过程中,在力求保持原有风格、特色的同时,对部分内容作了适当调整和精简,在叙述上也作了很多改进。全书仍为十一章,各章内容为:基本概念;初等积分法;存在和唯一性定理;奇解;高阶微分方程;线性微分方程组;幂级数解法;定性理论与分支理论初步;边值问题;首次积分;一阶偏微分方程。
《常微分方程教程(第2版)》可作为数学专业常微分方程课的教材,也可供有关专业人员参考。

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