数学概览:Klein数学讲座.pdf

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书籍描述

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《数学概览:Klein数学讲座》是F.克莱因在19世纪末访问美国芝加哥世界博览会时在西北大学所做的系列通俗报告基础上整理而成的,他的报告与当时的数学前沿密切相关,对美国数学的发展起了巨大的作用。

作者简介
作者:(德国)F.克莱因(F.Klein) 译者:陈光还 徐佩

F.克来引(F.Klein,1849—1925),19世纪后半叶至20世纪初最重要的数学家之一。他的贡献最为人所知的可能是关于几何学的Erlangen纲领,但是实际上远不止此,而是贯穿了几何、代数、复分析、群论和数学物理等多个方面,例如三维拓扑中的克菜因群。他一直主张纯粹数学与应用数举的统一,数学与物理、力学的统一,在数学内部则主张各个分支的统一。他认为自己最大的贡献正是在复分析、代数与几何的统一上所做出的努力。在方法论上,他的主张逻辑思维与几何直觉的统一也是非常突出的。在他的后半生,因为健康关系不能再继续独创性的科研工作时,他又成为著名的组织者和讲解者。

目录
《数学概览》序言
代译序 Felix Klein:他的生平和数学
再版说明
序言
第一讲 Clebsch (1893年8月28日)
第二讲Sophus Lie (1893年8月29日)
第三讲Sophus Lie (1893年8月30日)
第四讲 关于代数曲线和曲面的实形 (1893年8月31日)
第五讲 函数论与几何学 (1893年9月1日)
第六讲 空间直觉的数学特性及纯数学与应用科学的关系(1893年9月2日)
第七讲数e和π的超越性 (1893年9月4日)
第八讲理想数 (1893年9月5日)
第九讲 高次代数方程的解 (1893年9月6日)
第十讲 超椭圆函数和Abel函数的一些新进展 (1893年9月7日)
第十一讲 非欧几何的最新研究 (1893年9月8日)
第十二讲 哥廷根大学的数学研究 (1893年9月9日)
附录Ⅰ 数学在德国大学中的进展
附录Ⅱ 《Erlangen纲领》的起源
附录Ⅲ对新近以来几何学研究的比较考察
编后记

文摘
版权页:

数学概览:Klein数学讲座

插图:

数学概览:Klein数学讲座

接触变换如此重要,又出现得如此频繁,以至于这种变换的特殊情形很早就引起了几何学家的注意,然而在当时,既没有这个名称也没有这种观点,也就是说,没有将其看作接触变换,因而人们也就无法真正洞悉它们的特性。
我在1892—1893年的冬季学期发表的(石印)讲义《高等几何》(HShere Geometrie)中有大量接触变换的例子。在齿轮问题中可以找到一个二维的例子。给定一个齿轮的轮齿的轮廓线,要找出另一个齿轮的轮齿的轮廓线。借助于模型我在芝加哥展览会德国大学展台上向你们解释过这种方法。
在天文学的摄动理论中可以找到另一个例子,Lagrange的参数变分法用于三体问题等价于较高维空间的接触变换。
昨天研究的∞15代换群在直线几何中也是接触变换群,共线变换和反演变换两者都有这个特性。反演变换给出了第一个点到平面(也就是曲面),以及曲线到可展开面(也是曲面)的一个熟悉的实例。在这里,这些曲线的变换被当作把点或曲线元素变成曲面元素的变换。
最后,不只在上次讲座讨论球变换中有接触变换的例子,甚至在Pliicker的直线几何学转换为Lie的球几何学时也有。让我们更加详细地考察后一种情形。
首先,两条直线相交自然就有一个公共曲面元素;而在我们的变换下,对应的球相切,也必有一个公共的曲面元素。更细致地考察直线的曲面元素与球的曲面元素之间的关联性是十分有意义的,尽管它是由含虚数的公式给定的。例如,取属于一个球上的圆的曲面元素的总体;可以称为元素的圆集。在直线几何中它对应于沿着斜曲面的一条母线的曲面元素集,等等。于是,关于曲率线变换为渐近线的定理现在就是自明的了。考察曲面的曲率线可以换成考察对应的曲面元素,并称之为曲率集。类似地,渐近线可以用沿这条直线的曲面元素来代替;可称为密切集,两个集之间的对应关系立刻可以由下面的事实看出:当一个密切集的两个相邻元素属于同一条直线时,我们考察的曲率集的两个相邻元素属于同一个球。
接触变换最重要的应用之一出现在偏微分方程理论之中;这里,我仅限于讨论一阶偏微分方程。按照我们的新观点,这个理论更为清晰明白了,由Lagrange和Monge引进的那些术语,“解”、“通解”、“全解”、“奇解”的真正含义也就更加清楚了。

内容简介
《数学概览:Klein数学讲座》将对中国的学生和年轻的数学家起积极的影响。1893年夏天,在美国芝加哥召开的国际数学大会上,19世纪最著名的数学家之一F.Klein在美国西北大学作了为期两周的埃文斯顿学术报告会演讲。这本由他报告的讲义组成。在这两周的报告中,Klein给出了他所认为的在那个时期非常重要主题的个人观点,演讲强烈地影响了美国数学的兴起。这些观点在今天不论是对于数学历史还是数学发展依然有借鉴之用。

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