算术探索.pdf

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书籍描述

名人推荐
在美国加利福尼亚利佛摩尔市消防队第六分局的一只4瓦的小灯泡自1901年起点亮之后,迄今已连续使用了110年,并且依然在正常发光,在长达110年中,它只因为搬家熄灭过22分钟。
高斯的这本《算术探索》自从1801年出版后,迄今已经210年了,它从未离开过数论学者和广大“斯丝”(高斯的粉丝)的视线,它指引着众多数论名家从一个高峰奔向另一个高峰,本书的出版终于结束了这本数论圣经没有中文版的历史。
罗兰•斯特龙伯格教授(Roland N. Stromberg)在其颇具影响的著作《西方现代思想史》的导论中第一句就引用了伏尔泰的话:“了解前人是如何思想的,比了解他们如何做的更重要。”
高斯最受人称颂的是他的书和论文件件是精品,可谓字字珠玑,篇篇锦绣,但他广受后来数学跟随者诟病的也是这一点,它太完美了,以至完全看不出它是如何想出来的。“它像一只狡猾的狐狸用尾巴扫去了雪地上的痕迹让猎人无法追踪。”当然高斯自己的解释是为了追求完美,在拆除了脚手架后才将建筑示人,由于本书是高斯最早写就的成名作,所以细细研读从中我们还是可以寻到一丝高斯天才想法的蛛丝马迹。
任何历史学家在阅读史料的过程中都是有选择的,著名历史学家萧公权先生所倡导的“以学心读,以平心取,以公心述”并不是一个容易达到的境界。
这本书历经200余年其叙述风格及格式已与今天有较大的差距.所以要想用它当做课本学习数论并不是最有效率的,但是把它当做经典进行细细研读或是把它当成史料去品味,则既可以领略大师的思考艺术又可以管窥几百年数论研究热点及风格的演变,如果你足够聪明再加上运气好的话还可以发现一点高斯遗漏的珍珠。
1949年,为庆祝爱因斯坦七十大寿,《在世哲学家文库》准备出一本专辑《阿尔伯特•爱因斯坦:哲学家——科学家》。主编希欧普(P.A.Schilpp)邀请哥德尔也写一篇文章,哥德尔突发奇想,决定要为专辑写一篇关于广义相对论的论文,于是重操物理旧业,开始认真研究广义相对论,让人不得不服气的是,他居然发现了爱因斯坦方程的一个不为人知的新解——这个解对应于一个“没有时间的世界”。当然如果你不能有所创造,单是欣赏数学之美也应该家藏一编的。
杜威1934年曾经写过一本《艺术作为一种体验》,他认为,艺术不是作为一种人造物而存在,相反艺术存在于人们的参与中,“艺术产品——庙宇、绘画、雕塑、诗歌——不是艺术作品。当一个人与该产品产生协作,结果他因为产品的开放性和有序的特性而获得某种欣赏体验,这时艺术作品才算发生了。”这种纯粹的审美体验也可以移植到今天我们对数学美的认识上;数学之美不是作为一种人造物而存在,数学之美存在于人们的参与中,爱读才会赢.高斯的这本书历代数论学者都奉为经典一读再读,以与高斯同时代的人为例。
如迪利克雷,他曾深入钻研《算术探索》,正是由于他对《算术探索》的详细注疏,此书才得以逐渐为广大数学家理解。在庆祝高斯博士论文发表50周年大会上高斯正要拿《算术探索》的一张手稿点烟斗时,迪利克雷手疾眼快,赶紧抢了下来,并终生珍藏,他旅行时带着,睡觉时放到枕下,上床之前,总要读几段,希望醒来后重读时能完全明白。
如贝塞尔,当高斯送给贝塞尔一本《算术探索》时,贝塞尔非常用功地研读此书,以致书都散了架,还得重新装订。
如热尔曼,她是在深入钻研了《算术探索》之后,化名勒布朗与高斯通信,并在费马猜想中取得了一项有意义的成果。
如艾森斯坦,由于出版商的破产,他从来未能拥有一本,所以不得不从头到尾抄录了全书。
这本书的读者群应该是大学师生,因为他们是生产数学和消费数学的最大群体。
北京大学校长周其凤(其作词的《化学是你.化学是我》近日走红网络)在谈到关于如何在大学阶段做学问,做研究时引用了蔡元培先生当年提出的“闳约深美”的境界,这四个字用在研究数论,效仿高斯,攻读《算术探索》是再合适不过了。
1914至1919年在哥廷根讲授19世纪数学发展的Fleix Klein在其讲座中曾这样评价高斯:如果我们现在询问这个人不同寻常和独一无二的品质,回答一定是:在每一个所从事的领域内所取得的最伟大的个人成就与最宽广的多才多艺的结合;在数学上的创造性,追寻数学发展的力度和对其实际应用的敏感的完美结合,这包括精确无误的观察和测量;最后是对这种伟大的自我创造财富的最精炼的表达。有人说:感情太滥我们发明了浅交往,资讯太滥我们发明了浅阅读,在信息泛滥的时代我们确实很难找到让我们全身心投入具有绝对权威的人物及作品,这时我们可以负责任地告诉广大读者:高斯《算术探索》值得拥有,因为古往今来的数学家仅有两个人的天赋可以与他相比,Archimedes和Newton,而高斯活得更久,从而取得更加充分的个人成就。Archimedes代表了古代的科学成就,Newton是高等数学的创立者,而Gauss则代表了数学上一个新时代的来临。
美国新泽西州唯一的一位物理学家众议员拉什•霍尔特在最近的《科学》杂志上发表署名社论强调:“科学是国家对未来最明智的投资。”今天,这个观点比过去任何时候都更为重要。

其实在高斯的传记中我们发现一个真正的数学家是不可能贫困的,据G.M.Rassias撰文介绍:可能是由于保险统计工作的刺激,高斯养成了从报刊、书籍和日常的观察中收集各种统计数据的习惯。毫无疑问,这些数据帮助他获得相当于年薪200倍的金融投机,如他的父亲对他的称呼,这位“星空的凝观者”取得了令他的那些“只讲实用”的亲戚们难以置信的经济状况。
虽然高斯在当时可以算上巨富,但对今天中国社会颇有教育意义的是:奢侈从来没有吸引过这位数学王子,他的一生从20岁开始就真挚地贡献给了科学,正如他的朋友Sartorius von waltershausen写道“从青年到老年,高斯都是一个真实而简单的人,一间小书房,一张铺着绿色台布的工作台,一张白色的写字桌,一个窄沙发,70岁以后又添了一把手扶椅和一架带灯罩的台灯,一张床,简单的食物,一件长外衣,一顶天鹅绒便帽,这些东西是他一生的需求。”而高斯却拥有约6千册的藏书(这在大规模工业化印刷时代之前是相当巨大的),包括希腊文、拉丁文、英文、法文、俄文、丹麦文,当然还有德文的书籍。
中国数学家今天可能不太需要再钻读高斯的《算术探索》了,但高斯淡泊明志,宁静致远的精神境界我们太需要学习了。
高斯在西方已不仅是作为著名数学家而被圈内人知晓,其人其事是作为类似公众人物一样在大众中广泛流传。
巴黎第六大学博士,曾获法国政府颁发的“法兰西教育骑士荣誉勋章”,希腊雅典学院数学教授特福科洛斯•米哈伊里迪斯有一本小说被译成中文叫做《毕达哥拉斯谜案》(姚人杰,译,新星出版社,2010年),这本小说非常成功,哈佛大学数学教授巴里•梅休尔评价:是一起不可思议的谋杀谜案,令人想起20世纪初那场数学界、艺术界和社会形态发生的巨变,核心故事是一宗构思精妙的知识冲动犯罪,古老传说的现代演绎.牛津大学数学教授马库斯•杜•桑托伊评价其:作者聪明地将许多和数学有关的趣味故事编织进小说里,他对20世纪初的巴黎与希腊生活的描写更是令人神往。在这本以数学史为题材的小说中有三处大段涉及高斯,一处是第18页提到高斯的座右铭为“Pauca sed matura”(少而精),并说高斯最喜欢说的一句话是:“数学推导就像在造楼,当建筑完工后,不会把脚手架留在原地。”在中译本的96~97页涉及了高斯对阿贝尔论文的漠视及与波尔约非欧几何优先权之争。从畅销书的制作规律看数学一般是不适宜进入的,除非是极其著名和重要的人物和事件,由此可见高斯已脱离数学圈进入了更广阔的公共领域。
随着欧元的诞生,最后一张印有数学家头像的货币已经消失(欧拉是先消失的,最后一个是印有高斯头像的德国马克)。但由于潘承彪、张明尧、沈永欢三教授的努力,高斯又重新出现在国人的视野中,历时5载,实属不易,作为策划编辑唯一感到遗憾的是没能为其争取到与其贡献相匹配的报酬。
乔布斯的去世在中国引起的惋惜与反思绝不亚于他的家乡美国,但很少有人能领会乔布斯代表的企业家精神的精髓,北京锡恩企业管理顾问有限公司董事长姜汝祥看的很到位,他认为:乔布斯认为真正受益于民众的不是表面的低价,而是“市场交易的制度设计”,在iphone与ipad赢利所设计的价值链结构中,最重要的贡献在于对“免费逻辑”的突破,在苹果体系中,一切软件甚至一切知识创造都是要收费的,也就是说,是有“价格”的。中国的出版业生态完全被民营书商的低价策略破坏了,市场充斥着“柠檬”,一个知道自身价格的高水平作者的理智选择就是撤出这个市场,于是低质作品横行市场,读者表面上享受了低价优惠,实质是以丧失了内容品质为代价而且基本上锨除了有可能产生高品质作品的土壤。想当年严济慈凭一本《几何证题法》小册子的版税就可悠然去法国留学度日,而笔者前些日子收到一家大社寄来的一笔版税尚不敌一本原版数学书的价钱,所以在中国仅靠版税生活绝无可能,那谁又能潜心写作呢?
笔者在写此手记的空闲去哈工大图书馆看了一个中国图书进出口总公司举办的原版书展,好书很多,同去的郭梦舒博士问笔者为什么国外的数学书就那么好,笔者回答说:“无它,唯高价尔?”。高书价吸引高水平作者进入,最后读者受益,免费与低价是对读者潜在利益的最大伤害,为心爱的书籍付费是硬道理,在此理念的作用下笔者也选购了一本剑桥大学出版社的新书。RANJAN ROY的《SOURCES IN THE DEVELOPMENT OF MATHEMATICS—Series and Products from the Fifteenth to the Twenty first Century》,价格是99美元,念笔者是其老主顾,一番让利后以500元人民币成交。笔者抱着书走回工作室的路上心中充满向往,中国版的数学书能有如此高价之时,则作者幸甚,编辑幸甚,最终读者幸甚!

刘培杰
2011年10月20日于哈工大

作者简介
作者:(德国)高斯 译者:潘承彪 张明尧

潘承彪,1938年生于江苏省苏州市,1960年毕业于北京大学数学力学系数学专业,1961年起在北京农业机化学院(后改名为北京农业工程大学、中国农业大学)工作,从1977年起同时在北京大学数学系工作。主要从事数学,特别是数论的教学科研工作。与胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析数论基础》、《素数定理的初等证明》、《代数数论》、《初等数论》及《模形式导引》等。

张明尧,1945年12月生于山东省菏泽市,1967年毕业于安徽大学数学系,1981年获得硕士学位后在安徽大学工作;1987年获得博士学位后在中国科技大学工作;1994年调海南大学工作;1996年调上海华东理工大学工作。译著有《数论中未解决的问题(第二版)》(原著者R.K.Guy)、《纯数学教程(纪念版)》(原著者G.H.Hardy)以及《哈代数论(第六版)》(原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修订者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman)等。

目录
第一篇 数的同余 第1~12目 1
1 同余的数,模,剩余及非剩余 第1~3目 1
2 最小剩余 第4目 2
3 关于同余的若干基本定理 第5~11目 2
4 若干应用 第12目 4
第二篇 一次同余方程 第13~44目 5
5 关于素数、因数等的若干预备定理 第13~25目 5
6 一次同余方程的解 第26~31目 9
7 对若干个给定的模,求分别同余于给定的剩余的数的方法 第32~36目 12
8 多元线性同余方程组 第37目 15
9 若干不同的定理 第38~44目 17
第三篇 幂剩余 第45~93目 23
10 首项为1的几何数列的各项的剩余组成周期序列 第45~48目 23
首先讨论素数模 第49~81目 24
11 当模为素数p时,周期的项数是p-1的除数 第49目 24
12 Fermat定理 第50~51目 25
13 对应的周期的项数等于p-1的给定的除数的数的个数 第52~56目 26
14 原根,基,指标 第57目 29
15 指标的运算 第58~59目 29
16 同余方程xn≡A的根 第60~68目 30
17 不同系统的指标间的关系 第69~71目 36
18 为特殊应用选取基 第72目 37
19 求原根的方法 第73~74目 38
20 关于周期和原根的几个不同的定理 第75~81目 39
(Wilson定理) 第76~78目 40
合数模的讨论 第82~93目 43
21 模为素数幂 第82~89目 43
22 模为2的方幂 第90~91目 46
23 由若干个素数合成的模 第92~93目 47
第四篇 二次同余方程 第94~152目 49
24 二次剩余和非剩余 第94~95目 49
25 若模是素数,则在小于模的数中剩余的个数等于非剩余的个数 第96~97目 50
26 合数是否是给定素数的剩余或非剩余的问题依赖于它的因数的性质 第98~99目 51
27 合数模 第100~105目 52
28 给定的数是给定素数模的剩余或非剩余的一般判别法 第106目 56
以给定的数为其剩余或非剩余的素数的讨论 第107~150目 56
29 剩余-1 第108~111目 56
30 剩余+2和-2 第112~116目 58
31 剩余+3和-3 第117~120目 60
32 剩余+5和-5 第121~123目 62
33 剩余+7和-7 第124目 64
34 为一般讨论做准备 第125~129目 64
35 用归纳方法来发现一般的(基本)定理及由其推出的结论 第130~134目 68
36 基本定理的严格证明 第135~144目 72
37 用类似方法证明第114目中的定理 第145目 76
38 一般问题的解法 第146目 77
39 以给定的数为其剩余或非剩余的全体素数的线性表示式 第147~150目 78
40 其他数学家关于这些研究的工作 第151目 81
41 一般形式的二次同余方程 第152目 83
第五篇 二次型和二次不定方程 第153~307目 84
42 研究计划;型的定义及符号 第153目 84
43 数的表示;行列式 第154目 84
44 数M由型(a,b,c)来表示时所属的表示式2-ac (mod M)的值第155~156目 85
45 一个型包含另一个型,或包含在另一个型之中;正常及反常变换 第157目 86
46 正常等价及反常等价 第158目 87
47 相反的型 第159目 88
48 相邻的型 第160目 89
49 型的系数的公约数 第161目 90
50 给定的一个型变为另一个型的所有可能的同型变换之间的关系 第162目 90
51 歧型 第163目 95
52 与同时既是正常地又是反常地包含在另一个型中的型有关的定理 第164目 95
53 由型表示数的一般性研究以及这些表示与变换的联系 第166~170目 100
54 行列式为负的型 第171~181目 103
55 特殊的应用:将一个数分解成两个平方数,分解成一个平方数和另一个平方数的两倍,分解成一个平方数和另一个平方数的三倍 第182目 114
56 具有正的非平方数行列式的型 第183~205目 116
57 行列式为平方数的型 第206~212目 147
58 包含在另一个与之不等价的型之中的型 第213~214目 152
59 行列式为零的型 第215目 155
60 所有二元二次不定方程的一般整数解 第216~221目 158
61 历史注记 第222目 162
关于型的进一步研究 第223~265目 163
62 给定行列式的型的分类 第223~225目 163
63 类划分成层 第226~227目 166
64 层划分成族 第228~233目 168
65 型的合成 第234~244目 175
66 层的合成 第245目 196
67 族的合成 第246~248目 197
68 类的合成 第249~251目 199
69 对给定的行列式,在同一个层的每一个族中都有同样多个类 第252目 202
70 不同的层中各个族所含类的个数的比较 第253~256目 203
71 歧类的个数 第257~260目 209
72 对于给定的行列式,所有可能的特征有一半不能适合于任何正常本原(当行列式为负数时,还是定正的)族 第261目 215
73 基本定理以及与剩余-1,+2,-2有关的其他定理的第二个证明 第262目 215
74 精确地确定不能适合于族的那一半特征 第263~264目 217
75 分解素数成两个平方数的特殊方法 第265目 219
76 三元型研究杂谈 第266~285目 220
对于二元型理论的某些应用 第286~307目 247
77 怎样求一个型,由它的加倍可以得到主族中一个给定的二元型 第286目 247
78 除了在第263和264目中已经证明其不可能的那些特征之外,其他所有的特征都与某个族相对应 第287目 249
79 数及二元型分解为三个平方的理论 第288~292目 250
80 Fermat定理的证明:任何整数可以分解成三个三角数或者分解成四个平方数 第293目 257
81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294~295目 258
82 Legendre讲述基本定理的方法 第296~298目 262
83 由任意的三元型表示零 第299目 265
84 二元二次不定方程的有理通解 第300目 267
85 族的平均个数 第301目 268
86 类的平均个数 第302~304目 269
87 正常本原类的特殊算法;正则和非正则的行列式,等 第305~307目 273
第六篇 前面讨论的若干应用 第308~334目 281
88 将分数分解为若干个较简单分数 第309~311目 281
89 普通分数转换为十进制数 第312~318目 283
90 用排除法解同余方程x2≡A 第319~322目 287
91 用排除法解不定方程mx2+ny2=A 第323~326目 290
92 A为负数时同余方程x2≡A的另一种解法 第327,328目 295
93 判别合数与素数及寻求合数的因数的两个方法 第329~334目 297
第七篇 分圆方程 第335~366目 305
94 讨论可归结为把圆分为素数份的最简单情形 第336目 305
95 关于弧(它由整个圆周的一份或若干份组成)的三角函数的方程;把三角函数归结为方程xn-1=0的根 第337~338目 306
关于方程xn-1=0的根的理论(假定n是素数) 第339~354目 308
96 若不计根1,则全部其余的根(Ω)是属于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339~340目 308
97 函数X不能分解为系数均为有理数的因式的乘积 第341目 309
98 进一步讨论的目的的说明 第342目 310
99 Ω中的所有的根可分为若干个类(周期) 第343目 311
100 关于Ω中根组成的周期的几个的定理 第344~351目 312
101 基于以上讨论解方程X=0 第352~354目 319
进一步讨论根的周期 第355~360目 326
102 有偶数项的和是实数 第355目 326
103 把(Ω)中的根分为两个周期的方程 第356目 327
104 第四篇中提到的一个定理的证明 第357目 329
105 把(Ω)中的根分为三个周期的方程 第358目 330
106 把求Ω中的根的方程化为最简方程 第359~360目 334
以上研究在三角函数中的应用 第361~364目 337
107 求对应于(Ω)中每个根的角的方法 第361目 337
108 不用除法从正弦与余弦导出正切,余切,正割及余割 第362目 338
109 逐次降低关于三角函数的方程次数的方法 第363,364目 339
110 利用解二次方程或几何作图方法可实现的圆周的等分 第365,366目 343
补记 346
附表 348
译者注 351
附录 高斯——数学王者 科学巨人 357
1 德国情势 357
2 贫寒之家 360
3 心算神童 361
4 学院三载 363
5 大学攻读 366
6 出手不凡 370
7 科学随记 371
8 博士论文 375
9 算术探索 378
10 一算成名 382
11 恋爱结婚 386
12 公爵之死 387
13 丧妻再娶 390
14 天文著作 394
15 辉煌十年 396
16 大地测量 400
17 曲面理论 404
18 非欧几何 406
19 物理研究 410
20 教学工作 416
21 政治风波 418
22 晚年生活 421
23 业余爱好 423
24 人际关系 425
25 工作风格 435
26 溘然长逝 440
27 高斯全集 446
注 448
人名索引 458
人名译名表 465
编辑手记 471

序言
本书所探索的内容是属于数学中研究整数的那一部分,在大多数情形将不讨论分数,而且从不涉及无理数(俄、德为“虚数”以后再加译注)。通常所谓的不定分析或Diophantus分析,是讨论从满足一个不定方程的无穷多个解中去选出那些是整数或至少是有理数(通常还要求是正的)解的学问,它并不是彻底研究这一学科,而仅是这学科的十分特殊的一部分,它和这整个学科的关系差不多如同方程变形与解方程的学问(代数学)与整个分析学的关系一样。这就是说,如同所有涉及数量及它们之间的关系的一般性质的研究属于分析的领域一样,整数(及分数——在它们由整数确定的意义下)是算术研究的真正对象。然而,因为通常所说的算术很难超出记数与计算的技巧(即以确定的形式来表示数,例如十进位表示,以及对其进行算术运算),同时它还常常包含这样一些问题,它们或者与算术毫无关系(如对数理论),或者不仅对整数而且对任意的数量也有意义,所以这样来区分这两部份算术看来是适当的:把刚刚说到的这些称为初等算术,而把所有关于整数间内在联系的一般研究归入高等算术。本书将只讨论高等算术。
Euclid在其《几何原本》的第七及其后几卷中,以古人所固有的优美而又严格讨论的论题就是属于高等算术,不过这些内容仅可看做是这学科的一个导引。全部用于讨论不定分析问题的Diphantus的名著包含了许多研究,由于它们的难度及他所用的精妙方法,特别是,考虑到只有很少的辅助工具可供他应用,这些研究激起了人们对作者的才智和洞察力的高度关注。然而,因为对这些问题要求创新性和灵巧性甚于需要深刻的原理。此外,这些问题过于特殊以及很难导致更为普遍性的结论,所以,把这本书看做是开创了一个数学迅速发展的时代,是由于它本身记录了代数学所特有的巧妙技巧的最早踪迹,而不是由于它以新的发现丰富了高等算术。主要的是由于近期的研究,虽然确实不多,但赢得了永恒的声誉,它们是属于P.de Fermat,L.Euler,L.Lagrange及A.M.Legendre(以及另外少数几位),我们应当感谢他们开启了通向这一神圣科学宝藏的入口,并揭示了它所蕴含的宝藏是何等丰富。但是,我不再在这里列举这些学者的一个又一个发现,因为它们可在Lagrange为Euler的《代数学》所加的附录的前言中,及Legendre最近的著作(我将立刻提到它)中找到;此外,这些发现中的许多也将在本书的相应之处加以引述。
本书的目的是介绍我在高等算术领域所做的探索与研究,早在五年前我就允诺要出版这本书,现在它包括了我在早前及在这一段时间所做的两部份工作。为了避免有人感到奇怪,为什么本书的内容要追溯到许多最简单的原理,而且还要重新讨论许多已被其他人卓有成效地研究过的结果,我在此必须向读者说明:当我在1795年初开始转向这种探索时,我并不知道这一领域中近期的这些最新发现,同时用于得到我自己的结果的方法技巧都是我自己想出来的。事情是这样的,在从事其它工作时我偶然发现了一个极不寻常的正确的算术命题(如果我没有记错的话,这就是本书第108目所说的那个定理),因为我认为不仅它本身是这样的漂亮,而且感觉到它还会与其他著名的重要结论有联系,所以我把自己的全部精力集中于去搞清楚它所依赖的原理并给出严格的证明。当我在这方面最后取得成功后,我就被这些问题所深深地吸引而一发不可收拾了。这样一来,在我接触到其他学者的类似研究工作之前,我就已经得到了一个又一个结论,从而完成了本书前四篇所介绍的绝大多数内容。最后,当我有可能拜读这些天才人物的著作后,我才认识到我所深入思考的大部分内容都是早已知道的东西。但是,这只是更增加了我的兴趣,并努力尝试沿着他们的足迹进一步去发展算术。这就产生了不同的研究,其中的部分结果已被安排在第五、第六和第七篇中。稍后,我开始考虑发表我努力所得的这些成果,并说服自己不要删去任何早期研究所得的成果,这是因为,首先,在那时还没有一本书把其他学者的工作收集在一起,而这些工作只是散见于一些学术研究机构的会报纪事中;其次,这些研究中的多数结果是全新的,且其中大多数结果还是用新方法讨论的;最后,所有的结果之间有着如此密切的联系,以致于如果不从一开始就重提前面的某些工作,后面的新成果就难以充分阐述清楚。
就在这时,出现了当时已经在高等算术领域做出了巨大贡献的Legendre的杰出著作《数论(Essai d'une théorie des nombres,Paris,a.VI)》,书中他不仅把到当时所发现的所有结果都收集在一起并加以系统整理,而且添加了许多他本人的新结果。因为我过晚才见到这本书,当看到它时本书的大部分书稿已经完成并交给了出版商,所以当讨论类似的问题时,我就没有机会处处提到它了。只是对该书的我认为是必要的若干部分在补记中给出某些注记,我期望这位通情达理的学者不会不注意到这些并以他的宽容和真诚对此给予善意的理解。(按法文本))
本书的出版在超过四年的时间里遇到了许多阻碍。在这一段时间里,我不仅进一步继续过去已经开始进行的研究(当时为了避免本书篇幅过大,决定分离出这些研究,准备在另外的地方发表),而且也从事许多新的研究。此外,有许多我过去只是稍有触及而当时觉得似乎不必详细讨论的问题(例如,第37目,第82目及其后各目和其他的若干目)也得到了进一步发展,并导致一些看来是值得发表的更一般的结论(参见补记中关于第306目的注记)。最后,主要由于第五篇的内容使本书的篇幅变得大大超出我原来的预期,使我只得削减了最初打算写的不少内容,特别是删去了整个第八篇(在本书的若干处已经提到了该篇,它包含了任意次代数同余方程的一般讨论(俄))。在条件允许时,我将尽早地发表所有这些研究成果,它们容易构成与本书篇幅相当的一本书。
在多处困难的讨论中,我采用了综合性证明,且隐匿了导致这样的证明的分析,这样做主要是由于简洁性的要求,而这是我尽可能地力求做到的。
第七篇讨论的是分圆理论或正多边形理论,它本身不属于算术,但所涉及的那些原理无疑是唯一地依属于高等算术的。或许这会出乎数学家们的意料,但我希望他们对从这样的讨论导出的这些新结论会同样地感到高兴。
以上就是我要请读者注意的一些事情。至于此书本身的价值,不是我应加以判断的。我最大的愿望是,它会使得那些关心科学发展的人士感到高兴,不论是由于本书所提出的解法正是他们所一直寻求的,还是由于它开创了通向新探索的途径。

文摘
献给最尊敬的
Brunswick和Luneburg公爵
Charles William Ferdinand亲王殿下

最尊敬的亲王殿下:
您允许我用您最尊贵的名字为这著作增添光辉,这是我最大的荣幸,把这部著作呈献给您是我神圣的职责。最尊敬的亲王殿下,如果不是您的恩宠,我就不会迈入科学之门。如果不是您对我研究工作的不间断的资助,我就不可能全身心地从事我所热爱的数学研究,正是由于您天下无双的慷慨大度,才使得我不为他事烦心,能让自己有这么多年致力于富有成果的专心思考和研究,并最终为我提供了在这部书中写下我的部分研究成果的机会。当我最终准备好要将我的著作公诸于世时,又正是您独一无二的宽厚,才清除了不断延迟出版这一著作的所有障碍。您对我以及我的工作所给予的这样的恩施,使我只能以深情感激和默默敬佩之心铭记永思;对此我不可能奉献相应的报答。这不仅仅是因为我自己感到难以胜任这样的任务,更由于每一个人都知道您的异乎寻常的无私关怀赐予了所有献身于高深学科的人。众人皆知,对于那些通常被视为过于高深且远离日常生活的科学,您从来就没有把它们排除在您的保护和鼓励之外,您本人以您无上的智慧明察,这是为了在所有的科学之间建立联系,并关系到人类社会各方面的繁荣幸福所必需的根本保证。为此,作为表达我对您的最深敬意及我献身于最崇高的科学,我谨将本书奉献给您。最尊敬的亲王殿下,如果您认为这本书是值得您始终给予我的厚爱,那么我就可以祝贺自己,我的辛劳没有白费,并得到了超乎一切的无上荣光。

最尊敬的亲王殿下
您最忠实的仆人
C.F.Gauss
1801年7月于Brunswick

内容简介
《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的第一部杰作,该书写于1797年,1801年正式出版,这是一部用拉丁文写成的巨著,是数论的最经典及最具权威性的著作。在随后的200年时间中被翻译成多国文字,如德文、英文、俄文等。这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位,只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比,因为高斯有一句名言:“数学是科学的女皇,数论是数学的女皇。”这部著作共七篇。
第一篇讨论一般的数的同余:并首次引进了同余记号,这是现代数学中无处不在的等价和分类概念出现在代数中的最早的意义重大的例子。
第二篇讨论一次同余方程:其中严格证明了算术基本定理。
第三篇讨论幂的同余式:此篇详细讨论了高次同余式。
第四篇“二次同余方程”意义非同寻常:因为其中给出了二次互反律的证明,有人统计到21世纪初,二次互反律的证明已经超过200种,其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、刘维尔、库默尔、克罗内克、戴德金、瓦莱-布桑、希尔伯特、弗罗贝尼乌斯、斯蒂尔切斯、M•里斯、韦伊都给出了新证法,可见问题之重要。
第五篇是“二次型与二次不定方程”在这一篇中关于二次型的特征的研究,标志着群特征标理论的肇始,使高斯成为群论的先驱者之一。
第六篇把前面的理论应用到各种特殊情形,并引入了超越函数。
第七篇是“分圆方程”,不少人认为此篇是《算术研究》的顶峰。
《算术研究》当时对于数学家也很难读,它曾被称为“七印封严之书”(这是西方人对难解之书喜用的词,近于中国人所谓的“天书”,典出《圣经•启示录》第五章第一节:“我看见坐宝座的右手中有书卷,里外都写着书,用七印封严了”)后来迪利克雷作了详细注释。此书简洁完美的风格多少减慢了它的传播速度,而最终当富有才华的年轻人开始深入研读它时,由于出版商的破产,又买不到它了,甚至高斯最喜欢的学生艾森斯坦从未能拥有一本,有些学生不得不从头到尾抄录全书。

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