数学桥:对高等数学的一次观赏之旅.pdf

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书籍描述

编辑推荐
《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》是由上海科技教育出版社出版的。

作者简介
作者:(美国)斯蒂芬·弗莱彻·休森 译者:邹建成 杨志辉 刘喜波 等 注释 解说词:朱惠霖

目录
序言
1.数
1.1 计数
1.1.1 自然数
1.1.1.1 自然数的构造
1.1.1.2 算术
1.1.2 整数
1.1.2.1 零和负整数的性质
1.1.3 有理数
1.1.4 序
1.1.4.1 使N,Z和Q有序
1.1.5 从一到无穷大
1.1.5.1 无穷集的比较
1.1.6 无穷算术
1.1.7 超越
1.2 实数
1.2.1 怎样产生无理数
1.2.1.1 实数的代数描述
1.2.2 有多少个实数
1.2.3 代数数和超越数
1.2.3.1 超越数的例子
1.2.4 连续统假设和更大的无穷大
1.3 复数及其高维同伴
1.3.1 复数i的发现
1.3.2 复平面
1.3.2.1 复数在几何中的应用
1.3.3 棣莫弗定理
1.3.4 多项式和代数基本定理
1.3.4.1 多项式方程的求解
1.3.5 还有其他的数吗
1.3.5.1 四元数
1.3.5.2 凯莱数
1.4 素数
1.4.1 计算机、算法和数学
1.4.2 素数的性质
1.4.3 素数有多少个
1.4.3.1 素数的分布
1.4.4 欧几里得算法
1.4.4.1 欧几里得算法的速度
1.4.4.2 连分数
1.4.5 贝祖引理和算术基本定理
1.5 模整数
1.5.1 模为素数的算术
1.5.1.1 一个关于素数、的公式
1.5.1.2 费马小定理
1.5.2 RSA密码
1.5.2.1 建立RSA体制
1.5.2.2 一种RSA密码体制

2.分析
2.1 无穷极限
2.1.1 三个例子
2.1.1.1 阿基里斯和乌龟
2.1.1.2 连续复合利率
2.1.1.3 方程的迭代解法
2.1.2 极限的数学描述
2.1.2.1 收敛的一般准则
2.1.3 极限应用于无穷和
2.1.3.1 一个例子:几何级数
2.2 无穷和的收敛与发散
2.2.1 调和级数
2.2.2 收敛判别法
2.2.2.1 比较判别法
2.2.2.2 交错级数判别法
2.2.2.3 绝对收敛
2.2.2.4 比率判别法
2.2.3 幂级数及其收敛半径
2.2.3.1 确定收敛半径
2.2.4 无穷级数的重新排列
2.3 实函数
2.3.1 实值函数的极限
2.3.2 连续函数
2.3.3 微分
2.3.3.1 例子
2.3.3.2 微分中值定理
2.3.3.3 洛必达法则
2.3.4 面积与积分
2.3.5 微积分基本定理
2.4 对数函数和指数函数以及e
2.4.1 Inx的定义
2.4.2 expx的定义
2.4.3 欧拉数e
2.4.3.1 e的无理性
2.5 幂级数
2.5.1 泰勒级数
2.5.1.1 作为警示的例子
2.5.1.2 实函数的复扩张
2.6 与分析学观点下的三角学
2.6.1 角度与扇形面积
2.6.1 的一个级数展开式
2.6.2 正切、正弦和余弦
2.6.2.1 用幂级数定义sinx和cosx
2.6.3 傅里叶级数
2.7 复函数
2.7.1 指数函数和三角函数
2.7.2 复函数的几个基本性质
……
3.代数
4.微积分与微分方程
5.概率
6.理论物理
附录A 给读者的练习

序言
大学数学难学是一个众所周知的事实,但它到底有多难,直到我开始学习大学数学时,我才明白,对于要把注意重点从高中数学中以重复性操练为基础的常规解题训练转移到作为真正数学的智力体操上来,我毫无准备,庆幸的是,在我的奋力拼搏下,我通过了最初几个月的学习,而且逐渐地开始理解正式讲课中无处不在的大量符号的含义,我发现,数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科,尽管它远在一条由形式化、简洁性和逻辑性构成的水流湍急、险象环生的大河的那一侧。
几年以后,我在从事研究和讲授数学的过程中,发现一代又一代的数学家苗子仍在与我当初面临的同样问题作战,很自然,一些学生很突出,很快成了技巧娴熟的数学家,一些学生没能完成向更高层次数学的过渡,于是放弃,不再继续学习数学,其他一些学生很成功,这种“成功”在于能将符号搬来弄去,并在考试中取得高分,但是他们不具备任何有意义的数学悟性,第四类由有可能成为既技巧娴熟又聪颖过人的数学家的学生组成,但他们仍然觉得向更高层次数学的过渡很困难,这四类学生的共同之处是,他们都是有才能的学生,但他们在中学阶段没有接触更高层次的数学就进了大学,有那么多的学生最终归于后两类,这让我一直感到吃惊。
进一步的调查发现,看来几乎没有一种图书资料能以一种清晰的、直观的,特别是以一种有趣的方式来提供这种过渡性材料,一方面,我们有着标准的教材,当然,这些教材是必需的,但从整体上讲它们也是内容非常密集、阅读非常困难、编排非常紧凑的东西,除了适用于专门的学习和参考外,其他什么都不适用,另一方面,还有许多精彩的“普及性”数学图书。

后记
大约是2004年春天,经北京航空航天大学李心灿先生介绍,有幸接触到了《数学桥》原书,粗翻一遍,感觉该书既熟悉又陌生,熟悉的是书的内容,主要是本科阶段的大学所授的数学内容,而这些都是我曾经学习过的,陌生的是该书对这些内容的叙述和处理方式是独到的,我认为大学生在学习数学时,如果把课本与本书结合起来学习,或者以本书作为主要参考书,我相信数学学习将变得轻松和愉悦。
2004年秋天与上海科技教育出版社签订了翻译合同之后就组织同事和研究生共同翻译该书,由于时间过去了很多年,翻译的第一手稿件已经遗失,竟然无法记起各位翻译者翻译的是具体哪些章节,我的同事杨志辉博士、刘喜波博士肯定参与了翻译,记忆中研究生刘雪、朱红霞、刘旭丽,本科生黄伊霞、王新丽、赵颖也翻译或者录入了部分内容,其他没有提到的翻译者,敬请原谅我的健忘。
由于翻译人员众多,水平参差不齐,本书的翻译质量肯定大有问题,幸好出版社的编辑朱惠霖老师不计得失,不辞辛劳,对本书的初译稿进行了全面细致的审校,本书才得以付印,在此对朱老师表示真诚的感谢,同时也感谢出版社对我们的宽容。
此中译本肯定还有缺点和错误,都是我们翻译者水平有问题,说明我们还可以进步。

文摘
插图:

数学桥:对高等数学的一次观赏之旅

2.1.1 三个例子
理解极限的概念是一位初出茅庐的数学工作者必须跨越的最主要障碍之一,在这引导性的一节中,我们给出三个非常不同但都具有启发性的例子,它们一个比一个复杂,其中无穷极限的出现非常自然,我们用来处理这些例子中出现的无穷极限问题的方法,将以清晰而准确的定义在下一节具体呈现。
2.1.1.1 阿基里斯和乌龟
有一个关于极限过程的简单例子,从古一直流传到今,芝诺描述了乌龟和阿基里斯之间的一场赛跑,阿基里斯是古代跑得最快的运动员,乌龟的名字无从考证,这两者之间要进行一场赛跑其实是很荒唐的,因此允许乌龟先跑一段距离,尽管阿基里斯显然将获胜,但芝诺却论证乌龟永远不会被这位运动员超过,支持这个说法的理由是,为了追上乌龟,阿基里斯必须首先将他们之间一开始的距离缩短一半,这一阶段完成后,他又必须将余下的距离缩短一半,如此等等,以至无穷,于是,阿基里斯必须经过无穷多个“缩短一半距离”的阶段,才能在实际上赶上乌龟,芝诺宣称,既然人们不可能在一段有限的时间内经历无穷多个阶段,那么阿基里斯永远不可能领先,让我们对这种情况进行更仔细的分析,并运用数学而不是语言作为我们表达信息的媒介。

内容简介
《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》是一本独一无二的数学书。它不是教科书,也不是普及书,而是一本介于这两者之间的“普及性教科书”。它以高中数学为起点,用一种娓娓道来、徐徐展开的方式,向你展示大学数学中的核心内容和亮点,让你欣赏许多令人惊叹的结果,领略它们的自然之美和实用价值。《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》好比一座数学桥,它帮你从以重复性解题操练为基础的高中数学,平安顺利地过渡到以系统性思想探究为主旨的高等数学。如果你即将或正在学习高等数学,那么《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》将是你学习道路上的好伴侣;如果你已经学完了高等数学,那么不妨也来浏览一下,你很可能会说:“哎呀,原来是这么回事!”

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